3. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0,95. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероят-ность того, что за время t откажет ровно один узел. Решение. Пусть событие A – за время t откажет ровно один узел. Так как узлы выходят из строя независимо друг от друга и вероятности наступления события A в каждом испытании одинаковы, то решение задачи находим по формуле Бернулли: . В этой формуле , , за p примем вероятность выхода из строя каждого узла, т.е. . Тогда q – вероятность безотказной работы каждого узла: . Таким образом, искомая вероятность: . Ответ: . 4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изде-лие стандартно, равно 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины – числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий. Решение. Математическое ожидание дискретной случайной величины (ДСВ) X – числа партий, будем определять по формуле , так как данная случайная величина представляет собой биномиальный закон распределения (каж-дую из вероятностей следует искать по формуле: , где ). Определим вероятность события A – в партии из пяти изделий содержится ровно четыре стандартных изделия, если вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. Воспользуемся формулой Бернулли: , где , , , . Итак, . Таким образом, искомое математическое ожидание будет: . Ответ: .
1. Начертить диаграмму Эйлера-Венна. 2. Студент подготовил к экзамену 40 из 50 вопросов. На экзамене ему предполагается дать ответ на два, случайным образом выбранных вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответ на оба предложенных ему вопроса? 3. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0,95. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t откажет ровно один узел. 4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины – числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий. 5. Построить полигон частот по данному распределению выборки. 6. Дана выборка из генеральной совокупности. Представить выборку графически и найти ее числовые характеристики: а) построить полигон, кумуляту и эмпирическую функцию распределения; б) найти выборочную среднюю, медиану и моду; в) найти дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. 7. Найти плотность и функцию распределения вероятностей времени ожидания поезда метрополитена, зная, что оно равномерно распределено в интервале 0–5 минуты. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины. Определить вероятность того, что время ожидания пассажира будет нее более 3 минут. 8. Дана двумерная выборка. Представить выборку графически и найти выборочный коэффициент корреляции.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и ма-тематической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. – М.: Высш. школа., 1999. – 400 с.: ил.